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第1题

称一个整数 55 元组是「arrangeable」的，如果它的元素可以按某种顺序标记为 a,b,c,d,ea,b,c,d,e，使得 a−b+c−d+e=29a-b+c-d+e=29。确定所有整数 20172017 元组 n1,n2,…,n2017n_1,n_2,\ldots,n_{2017}，使得若将它们按顺时针顺序排在一个圆周上，则圆周上任意连续位置的 55 元组都是 arrangeable 的。
第 4/4 步：无穷递降迫使所有 mi=0m_i=0
上一步下一步
mi all even  ⟹  mi/2 satisfies the same condition  ⟹  mi=0 ∀im_i \text{ all even} \implies m_i/2 \text{ satisfies the same condition} \implies m_i=0\ \forall i
详细分析

由于所有 mim_i 都是偶数，把每个 mim_i 换成 mi/2m_i/2 仍保持「任意连续 55 项可重新标记使 a−b+c−d+e=0a-b+c-d+e=0」这一性质，因为该条件是线性且齐次的。若存在某个 mi≠0m_i\ne0，这种折半可以无限重复，但对非零整数反复折半最终会得到奇数，这与每一阶段所有项都保持为偶数矛盾。因此所有 mi=0m_i=0，故 n1=⋯=n2017=29n_1=\cdots=n_{2017}=29。