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第2题

设三角形 ABCABC 满足 AB<ACAB<AC。设 DD 为 ∠BAC\angle BAC 的内角平分线与三角形 ABCABC 外接圆的交点。设 ZZ 为 ACAC 的垂直平分线与 ∠BAC\angle BAC 的外角平分线的交点。证明线段 ABAB 的中点落在三角形 ADZADZ 的外接圆上。
第 2/6 步：ZDZD 为直径，从而 ZD′=ZDZD'=ZD
上一步下一步
∠ZAD=90∘  ⟹  ZD diameter of ⊙(AZD)  ⟹  ∠ZMD=90∘  ⟹  ZD′=ZD,ZA=ZC\angle ZAD=90^\circ \implies ZD \text{ diameter of } \odot(AZD) \implies \angle ZMD=90^\circ \implies ZD'=ZD,\quad ZA=ZC
详细分析

由于 AA 处的内角平分线与外角平分线垂直，故 ∠ZAD=90∘\angle ZAD=90^\circ，从而 ZDZD 是 △AZD\triangle AZD 外接圆的直径，得 ∠ZMD=90∘\angle ZMD=90^\circ。因为按构造 MM 是 DD′DD' 的中点，ZM⊥DD′ZM\perp DD' 使得 ZMZM 是 DD′DD' 的垂直平分线，故 ZD′=ZDZD'=ZD。又因 ZZ 在 ACAC 的垂直平分线上，故 ZA=ZCZA=ZC。