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第2题

设三角形 ABCABC 满足 AB<ACAB<AC。设 DD 为 ∠BAC\angle BAC 的内角平分线与三角形 ABCABC 外接圆的交点。设 ZZ 为 ACAC 的垂直平分线与 ∠BAC\angle BAC 的外角平分线的交点。证明线段 ABAB 的中点落在三角形 ADZADZ 的外接圆上。
第 3/6 步：借助内接四边形的角度计算
上一步下一步
α:=∠BAD=∠DAC,∠MZD=∠MAD=α, ∠AZC=2α  ⟹  ∠D′ZA=∠DZC\alpha:=\angle BAD=\angle DAC,\quad \angle MZD=\angle MAD=\alpha,\ \angle AZC=2\alpha \implies \angle D'ZA=\angle DZC
详细分析

设 α=∠BAD=∠DAC\alpha=\angle BAD=\angle DAC。由于 AZDMAZDM 内接于圆，故 ∠MZD=∠MAD=α\angle MZD=\angle MAD=\alpha；又因 MM 是 DD′DD' 的中点，∠D′ZM=∠MZD\angle D'ZM=\angle MZD，故 ∠D′ZD=2α\angle D'ZD=2\alpha。此外，利用 ZZ 在 ACAC 垂直平分线上以及 ∠DAC=α\angle DAC=\alpha，可得 ∠AZC=2α\angle AZC=2\alpha。从 ∠D′ZD\angle D'ZD 与 ∠AZC\angle AZC 中都减去 ∠AZD\angle AZD，得 ∠D′ZA=∠D′ZD−∠AZD=∠AZC−∠AZD=∠DZC\angle D'ZA=\angle D'ZD-\angle AZD=\angle AZC-\angle AZD=\angle DZC。