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第2题

设三角形 ABCABC 满足 AB<ACAB<AC。设 DD 为 ∠BAC\angle BAC 的内角平分线与三角形 ABCABC 外接圆的交点。设 ZZ 为 ACAC 的垂直平分线与 ∠BAC\angle BAC 的外角平分线的交点。证明线段 ABAB 的中点落在三角形 ADZADZ 的外接圆上。
第 5/6 步：角度追踪得出 AD′∥BDAD'\parallel BD
上一步下一步
β:=∠ABC=∠ADC,∠BAD′=α+β=∠ABD  ⟹  AD′∥BD\beta:=\angle ABC=\angle ADC,\quad \angle BAD'=\alpha+\beta=\angle ABD \implies AD'\parallel BD
详细分析

记 β=∠ABC=∠ADC\beta=\angle ABC=\angle ADC。对 AA 处的角求和（∠D′AZ+∠ZAD+∠DAB+∠BAD′=360∘\angle D'AZ+\angle ZAD+\angle DAB+\angle BAD'=360^\circ）以及四边形 AZCDAZCD 的内角和（∠DCZ+∠ZAD+∠CZA+∠ADC=360∘\angle DCZ+\angle ZAD+\angle CZA+\angle ADC=360^\circ），并消去由全等得到的相等项 ∠D′AZ=∠DCZ\angle D'AZ=\angle DCZ 以及 ∠ZAD=90∘\angle ZAD=90^\circ、∠CZA=2α\angle CZA=2\alpha，可得 ∠BAD′=α+β\angle BAD'=\alpha+\beta，它等于 ∠ABD\angle ABD。由内错角相等即得 AD′∥BDAD'\parallel BD。