第3题

设

A(n)

表示满足

a_1+\cdots+a_k=n

且每个

a_i+1

（

i=1,2,\ldots,k

）都是二的幂的正整数数列

a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_k

的个数。设

B(n)

表示满足

b_1+\cdots+b_m=n

且每个不等式

b_j\ge2b_{j+1}

（

j=1,2,\ldots,m-1

）都成立的正整数数列

b_1\ge b_2\ge\cdots\ge b_m

的个数。证明对每个正整数

n

都有

A(n)=B(n)

。

第 4/4 步：得出双射结论

上一步下一步

A(n)=B(n)

详细分析

行和映射（由行构造阵列后读取列和，从 $A$ 型到 $B$ 型）与列和映射（由列构造精妙阵列后读取行和，从 $B$ 型到 $A$ 型）互为逆映射，因为精妙阵列可由其行和或列和唯一还原。因此这两个映射给出了和为 $n$ 的 $A$ 型数列与和为 $n$ 的 $B$ 型数列之间的双射，故对每个正整数 $n$ 都有 $A(n)=B(n)$ 。