第4题

称有理数

r

为「powerful」的，如果对某互素正整数

p,q

及某整数

k>1

，

r

可写成

\dfrac{p^k}{q}

的形式。设

a,b,c

是满足

abc=1

的正有理数。假设存在正整数

x,y,z

使得

a^x+b^y+c^z

是整数。证明

a,b,c

都是 powerful 的。

第 1/5 步：把

a,b,c

写成既约分数

上一步下一步

a=\frac{a_1}{b_1},\ b=\frac{a_2}{b_2},\ \gcd(a_1,b_1)=\gcd(a_2,b_2)=1,\quad c=\frac{b_1b_2}{a_1a_2}

详细分析

把 $a=a_1/b_1$ 与 $b=a_2/b_2$ 写成既约分数。由 $abc=1$ 得 $c=b_1b_2/(a_1a_2)$ 。通分后， $a^x+b^y+c^z$ 为整数这一假设变为整除关系 $a_1^za_2^zb_1^xb_2^y\mid a_1^{x+z}a_2^zb_2^y+a_1^za_2^{y+z}b_1^x+b_1^{x+z}b_2^{y+z}$ 。