第4题

称有理数

r

为「powerful」的，如果对某互素正整数

p,q

及某整数

k>1

，

r

可写成

\dfrac{p^k}{q}

的形式。设

a,b,c

是满足

abc=1

的正有理数。假设存在正整数

x,y,z

使得

a^x+b^y+c^z

是整数。证明

a,b,c

都是 powerful 的。

第 2/5 步：推出

a_1^z\mid b_2^{y+z}

a_1^z\mid b_1^{x+z}b_2^{y+z},\quad \gcd(a_1,b_1)=1 \implies a_1^z\mid b_2^{y+z}

详细分析

上述整除关系的左边被 $a_1^z$ 整除，而 $a_1^z$ 显然整除右边前两项（每项都已含因子 $a_1^z$ ）；因此 $a_1^z$ 整除第三项 $b_1^{x+z}b_2^{y+z}$ 。由 $\gcd(a_1,b_1)=1$ ，这迫使 $a_1^z\mid b_2^{y+z}$ 。