第4题

称有理数

r

为「powerful」的，如果对某互素正整数

p,q

及某整数

k>1

，

r

可写成

\dfrac{p^k}{q}

的形式。设

a,b,c

是满足

abc=1

的正有理数。假设存在正整数

x,y,z

使得

a^x+b^y+c^z

是整数。证明

a,b,c

都是 powerful 的。

第 3/5 步：在素数

p\mid a_1

处比较赋值

上一步下一步

p^n\Vert a_1,\ p^m\Vert b_2,\quad nz\le m(y+z),\quad p^{nz}\Vert a_1^za_2^{y+z}b_1^x,\ p^{m(y+z)}\Vert b_1^{x+z}b_2^{y+z}

详细分析

固定一个素数 $p\mid a_1$ ，设 $p^n\Vert a_1$ ， $p^m\Vert b_2$ （故 $n,m\ge1$ ）。由 $a_1^z\mid b_2^{y+z}$ 得 $nz\le m(y+z)$ 。由 $\gcd(a_1,b_1)=\gcd(a_2,b_2)=1$ ， $p$ 既不整除 $b_1$ 也不整除 $a_2$ ，故恰有 $p^{nz}\Vert a_1^za_2^{y+z}b_1^x$ 且恰有 $p^{m(y+z)}\Vert b_1^{x+z}b_2^{y+z}$ 。