第4题

称有理数

r

为「powerful」的，如果对某互素正整数

p,q

及某整数

k>1

，

r

可写成

\dfrac{p^k}{q}

的形式。设

a,b,c

是满足

abc=1

的正有理数。假设存在正整数

x,y,z

使得

a^x+b^y+c^z

是整数。证明

a,b,c

都是 powerful 的。

第 4/5 步：迫使等式

nz=m(y+z)

上一步下一步

nz<m(y+z) \implies p^{nz}\Vert(\text{sum}),\ nz<nz+my \implies \text{contradiction} \implies nz=m(y+z)

详细分析

原整除关系还给出 $p^{nz+my}$ 整除和式 $a_1^za_2^{y+z}b_1^x+b_1^{x+z}b_2^{y+z}$ 。若严格有 $nz<m(y+z)$ ，该和式两项的 $p$ 进赋值分别为 $nz$ 与 $m(y+z)$ ，且 $nz$ 严格更小，故和式的赋值恰为 $nz$ ，因 $m>0$ 而小于 $nz+my$ ——矛盾。因此 $nz=m(y+z)$ 。