第4题

称有理数

r

为「powerful」的，如果对某互素正整数

p,q

及某整数

k>1

，

r

可写成

\dfrac{p^k}{q}

的形式。设

a,b,c

是满足

abc=1

的正有理数。假设存在正整数

x,y,z

使得

a^x+b^y+c^z

是整数。证明

a,b,c

都是 powerful 的。

第 5/5 步：得出

a_1

从而

a

是 powerful 的

上一步下一步

k:=\frac{y+z}{\gcd(z,y+z)}>1,\quad k\mid n\ \forall p\mid a_1\implies a_1=t^k,\ \gcd(t,b_1)=1\implies a=\frac{t^k}{b_1}\text{ is powerful}

详细分析

由 $nz=m(y+z)$ （ $n,m$ 为正整数），除以 $\gcd(z,y+z)$ 可知 $n$ 必须被 $k:=(y+z)/\gcd(z,y+z)$ 整除，且因 $z<y+z$ 故 $k>1$ 。由于这对整除 $a_1$ 的每个素数 $p$ 都成立， $a_1$ 的素因子分解中每个指数都被 $k$ 整除，故 $a_1=t^k$ （ $t$ 为正整数）。由 $\gcd(a_1,b_1)=1$ 还得 $\gcd(t,b_1)=1$ ，所以 $a=t^k/b_1$ 具有所需形式。对相应变量作对称论证， $b$ 与 $c$ 也都是 powerful 的。