第5题

设

n

为正整数。一对整数分量的

n

元组

(a_1,\ldots,a_n)

与

(b_1,\ldots,b_n)

称为「exquisite」的，如果

|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\le1

。求整数分量的互不相同的

n

元组的最大个数，使得其中任意两个都构成一个 exquisite 对。

第 1/5 步：构造

n^2+n+1

个两两 exquisite 的元组

上一步下一步

\{0\}\cup\{\pm e_i\}_{i=1}^n\cup\{e_i+e_j,\ e_i-e_j\}_{i<j} \implies 1+2n+n(n-1)=n^2+n+1

详细分析

取零元组；取在某一位置为 $1$ 或 $-1$ 的 $2n$ 个单分量元组；再对 $\binom n2$ 对位置 $i<j$ 中的每一对，取在位置 $i,j$ 处取值 $(1,1)$ 与 $(1,-1)$ 、其余为零的两个元组。总数为 $1+2n+2\binom n2=1+2n+n(n-1)=n^2+n+1$ 。