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第5题

设 nn 为正整数。一对整数分量的 nn 元组 (a1,…,an)(a_1,\ldots,a_n) 与 (b1,…,bn)(b_1,\ldots,b_n) 称为「exquisite」的，如果 ∣a1b1+⋯+anbn∣≤1|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\le1。求整数分量的互不相同的 nn 元组的最大个数，使得其中任意两个都构成一个 exquisite 对。
第 2/5 步：验证 exquisite 条件
上一步下一步
at most two coordinates of aibi are nonzero; same pair, opposite signs  ⟹  sum∈{−1,0,1}\text{at most two coordinates of } a_ib_i \text{ are nonzero}; \text{ same pair, opposite signs} \implies \text{sum} \in\{-1,0,1\}
详细分析

对该列表中任意两个元组，各自至多有两个非零分量，因此乘积 aibia_ib_i 中至多两个可能非零。两个乘积同时非零的唯一情形是两个元组都支撑在同一对位置 i,ji,j 上：比较 (1,1)(1,1) 与 (1,−1)(1,-1) 得内积 1⋅1+1⋅(−1)=01\cdot1+1\cdot(-1)=0；而单分量元组或零元组与另一个配对，至多贡献一个大小为 11 的非零乘积。因此任意两两内积都属于 {−1,0,1}\{-1,0,1\}，故所有配对都是 exquisite 的。