第5题

引理：给定 $2n+1$ 个互异的非零实数 $n$ 元组，其中必有两个 $(a_1,\ldots,a_n)$ 与 $(b_1,\ldots,b_n)$ 满足 $a_1b_1+\cdots+a_nb_n>0$。这通过对 $n$ 归纳证明（$n=1$ 时显然，因为三个非零实数中必有两个同号）；归纳步骤中，通过坐标旋转可归约到某个元组为 $(0,\ldots,0,1)$ 的情形，此时或者有其他元组末分量为负（结论成立），或者其余所有元组末分量非负，去掉该坐标后对所得的 $2n-1$ 个 $(n-1)$ 元组应用归纳假设（当两者重合时需另作处理）。