第5题

设

n

为正整数。一对整数分量的

n

元组

(a_1,\ldots,a_n)

与

(b_1,\ldots,b_n)

称为「exquisite」的，如果

|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\le1

。求整数分量的互不相同的

n

元组的最大个数，使得其中任意两个都构成一个 exquisite 对。

第 4/5 步：按最后非零位置划分 exquisite 族

上一步下一步

A=A_1\cup\cdots\cup A_n,\quad A_i=\{\text{tuples whose last nonzero entry is at position } i\},\quad |A_i|\le2i

详细分析

设 $A$ 是一族非零元组，其中任意两个都是 exquisite 的。记 $A=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n$ ，其中 $A_i$ 是 $A$ 中最后一个非零分量位于位置 $i$ 的元组集合。只需证明对每个 $i$ 都有 $|A_i|\le2i$ ，因为 $2+4+\cdots+2n=n^2+n$ ，从而连同零元组一起就限定了 $|A|+1\le n^2+n+1$ 。