第1题

对于内心为 $I$ 的三角形 $XYZ$，设 $D$ 为 $\angle YXZ$ 内角平分线与三角形 $XYZ$ 外接圆的第二个交点，即不含 $X$ 的弧 $YZ$ 的中点。因为 $\angle DIY$ 是三角形 $IXY$ 在 $I$ 处的外角，所以 $\angle DIY=\angle IXY+\angle IYX=\tfrac12\angle X+\tfrac12\angle Y$。又 $\angle DYZ=\angle DXZ=\tfrac12\angle X$（同弧 $DZ$）且 $\angle ZYI=\tfrac12\angle Y$，故 $\angle DYI=\angle DYZ+\angle ZYI=\tfrac12\angle X+\tfrac12\angle Y=\angle DIY$。因此三角形 $DIY$ 为等腰三角形，$DI=DY$，由对称性同理 $DI=DZ$。之后将其应用于三角形 $MHN$，取 $D=F$、$I=J$。