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第1题

设 HH 为三角形 ABCABC 的垂心。设 MM、NN 分别为边 ABAB、ACAC 的中点。假设 HH 在四边形 BMNCBMNC 内部，且三角形 BMHBMH 与 CNHCNH 的外接圆相切。过 HH 且平行于 BCBC 的直线分别与三角形 BMHBMH 和 CNHCNH 的外接圆交于点 KK 和 LL。设 FF 为 MKMK 与 NLNL 的交点，JJ 为三角形 MHNMHN 的内心。证明 FJ=FAFJ = FA。
第 3/7 步：利用垂心与相切条件
上一步下一步
∠ABH=90∘−∠BAC=∠ACH,∠MHN=∠MBH+∠NCH=180∘−2∠BAC\angle ABH = 90^\circ-\angle BAC=\angle ACH,\qquad \angle MHN=\angle MBH+\angle NCH=180^\circ-2\angle BAC
详细分析

由于 HH 是三角形 ABCABC 的垂心，从 BB 出发的高垂直于 ACAC，得 ∠ABH=90∘−∠BAC\angle ABH=90^\circ-\angle BAC，对称地 ∠ACH=90∘−∠BAC\angle ACH=90^\circ-\angle BAC。因为 BMHBMH 与 CNHCNH 的外接圆在 HH 处相切，HH 处的切线—弦角与上述数值结合，给出 ∠MHN=∠MBH+∠NCH=180∘−2∠BAC\angle MHN=\angle MBH+\angle NCH=180^\circ-2\angle BAC。