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第1题

设 HH 为三角形 ABCABC 的垂心。设 MM、NN 分别为边 ABAB、ACAC 的中点。假设 HH 在四边形 BMNCBMNC 内部，且三角形 BMHBMH 与 CNHCNH 的外接圆相切。过 HH 且平行于 BCBC 的直线分别与三角形 BMHBMH 和 CNHCNH 的外接圆交于点 KK 和 LL。设 FF 为 MKMK 与 NLNL 的交点，JJ 为三角形 MHNMHN 的内心。证明 FJ=FAFJ = FA。
第 4/7 步：通过平行弦传递角度
上一步下一步
∠MBH=∠MKH=∠NCH=∠NLH=90∘−∠BAC,∠FMN=∠FNM=90∘−∠BAC,∠MFN=2∠BAC\angle MBH=\angle MKH=\angle NCH=\angle NLH=90^\circ-\angle BAC,\qquad \angle FMN=\angle FNM=90^\circ-\angle BAC,\qquad \angle MFN=2\angle BAC
详细分析

因为 M,B,H,KM,B,H,K 共圆，故 ∠MKH=∠MBH\angle MKH=\angle MBH；又 N,C,H,LN,C,H,L 共圆，故 ∠NLH=∠NCH\angle NLH=\angle NCH；结合第3步，这四个角都等于 90∘−∠BAC90^\circ-\angle BAC。中位线 MNMN 与过 HH 的直线 KLKL 都平行于 BCBC，故 MN∥KLMN\parallel KL，于是 MKMK、NLNL 与 MNMN 所成的角 ∠FMN\angle FMN、∠FNM\angle FNM 也都等于 90∘−∠BAC90^\circ-\angle BAC，从而 ∠MFN=180∘−2(90∘−∠BAC)=2∠BAC\angle MFN=180^\circ-2(90^\circ-\angle BAC)=2\angle BAC。