MathLabs

第1题

设 HH 为三角形 ABCABC 的垂心。设 MM、NN 分别为边 ABAB、ACAC 的中点。假设 HH 在四边形 BMNCBMNC 内部，且三角形 BMHBMH 与 CNHCNH 的外接圆相切。过 HH 且平行于 BCBC 的直线分别与三角形 BMHBMH 和 CNHCNH 的外接圆交于点 KK 和 LL。设 FF 为 MKMK 与 NLNL 的交点，JJ 为三角形 MHNMHN 的内心。证明 FJ=FAFJ = FA。
第 5/7 步：F 是三角形 AMN 的外心
上一步下一步
∠MHN+∠MFN=180∘⟹M,F,N,H concyclic;FA=FM=FN\angle MHN+\angle MFN=180^\circ \Longrightarrow M,F,N,H\ \text{concyclic}; \qquad FA=FM=FN
详细分析

由第3、4步，∠MHN=180∘−2∠BAC\angle MHN=180^\circ-2\angle BAC 与 ∠MFN=2∠BAC\angle MFN=2\angle BAC 之和为 180∘180^\circ，故 M,F,N,HM,F,N,H 共圆。又 FM=FNFM=FN（第4步中底角相等），∠MFN=2∠BAC\angle MFN=2\angle BAC，且 FF 与 AA 位于 MNMN 同侧，因此 FF 恰为三角形 AMNAMN 的外心，从而 FA=FM=FNFA=FM=FN。