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亚太数学奥林匹克
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2018年
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第1题
第1题
设
H
H
H
为三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
的垂心。设
M
M
M
、
N
N
N
分别为边
A
B
AB
A
B
、
A
C
AC
A
C
的中点。假设
H
H
H
在四边形
B
M
N
C
BMNC
B
M
N
C
内部，且三角形
B
M
H
BMH
B
M
H
与
C
N
H
CNH
C
N
H
的外接圆相切。过
H
H
H
且平行于
B
C
BC
B
C
的直线分别与三角形
B
M
H
BMH
B
M
H
和
C
N
H
CNH
C
N
H
的外接圆交于点
K
K
K
和
L
L
L
。设
F
F
F
为
M
K
MK
M
K
与
N
L
NL
N
L
的交点，
J
J
J
为三角形
M
H
N
MHN
M
H
N
的内心。证明
F
J
=
F
A
FJ = FA
F
J
=
F
A
。
第 7/7 步：结论
上一步
下一步
F
J
=
F
M
=
F
N
=
F
A
FJ=FM=FN=FA
F
J
=
F
M
=
F
N
=
F
A
详细分析
结合第5步的
F
A
=
F
M
=
F
N
FA=FM=FN
F
A
=
F
M
=
F
N
与第6步的
F
J
=
F
M
=
F
N
FJ=FM=FN
F
J
=
F
M
=
F
N
，得
F
J
=
F
A
FJ=FA
F
J
=
F
A
，命题得证。
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