第2题

设函数

f(x)

、

g(x)

为

f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}

，

g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}

。证明：对满足

0<x<2018

的任意非整数实数

x

，都有

|f(x)-g(x)|>2

。

第 3/6 步：平移二不会使 d 减小

上一步下一步

d(x)=g(x)-f(x),\qquad d(x+2)-d(x)=\Big(\frac1{x+1}-\frac1{x+2}\Big)-\Big(\frac1{x-2017}-\frac1{x-2018}\Big)\ge 0

详细分析

记 $d=g-f$ 。对求和重新编号可知 $d(x+2)-d(x)$ 恰好裂项为所示两个括号之差。在 $x$ 处于相关范围内时，第一个括号为正（因 $x+1<x+2$ ），第二个括号非正（因 $x-2017$ 与 $x-2018$ 均为较大的负数且 $x-2018$ 更负）；故 $d(x+2)\ge d(x)$ 。因此在 $2n-1<x<2n$ 这族区间中， $d$ 在 $n=1$ 时最小，即只需证明 $1<x<2$ 时 $d(x)>2$ 。