第2题

设函数

f(x)

、

g(x)

为

f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}

，

g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}

。证明：对满足

0<x<2018

的任意非整数实数

x

，都有

|f(x)-g(x)|>2

。

第 4/6 步：分离四项并证明其余部分为正

上一步下一步

d(x)=\underbrace{\frac1{x-1}-\frac1x-\frac1{x-2}+\frac1{x-3}}_{\text{four dominant terms}}+\sum_{k=2}^{1008}\Big(\frac1{x-(2k+1)}-\frac1{x-2k}\Big)-\frac1{x-2018}

详细分析

当 $1<x<2$ 且 $k=2,\dots,1008$ 时， $x-(2k+1)$ 与 $x-2k$ 均为负且 $x-(2k+1)<x-2k$ ，故 $\frac1{x-(2k+1)}>\frac1{x-2k}$ ，求和中每个括号内的项均为正。又 $x-2018<0$ ，故 $-\frac1{x-2018}>0$ 。因此除前四项外其余各项之和严格为正，于是只需证明这四个主要项之和大于 $2$ 。