第2题

设函数

f(x)

、

g(x)

为

f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}

，

g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}

。证明：对满足

0<x<2018

的任意非整数实数

x

，都有

|f(x)-g(x)|>2

。

第 5/6 步：重新组合四项

上一步下一步

\frac1{x-1}-\frac1x-\frac1{x-2}+\frac1{x-3}=\Big(\frac1{x-1}+\frac1{2-x}\Big)+\frac3{x(x-3)}

详细分析

由 $-\frac1{x-2}=\frac1{2-x}$ ，及 $-\frac1x+\frac1{x-3}=\frac{-(x-3)+x}{x(x-3)}=\frac3{x(x-3)}$ ，可知四个主要项恰好分解为所示的一对对称项与一个分式之和。