第2题

设函数

f(x)

、

g(x)

为

f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}

，

g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}

。证明：对满足

0<x<2018

的任意非整数实数

x

，都有

|f(x)-g(x)|>2

。

第 6/6 步：估计各部分并得出结论

上一步下一步

\frac1{x-1}+\frac1{2-x}\ge 4,\qquad \frac3{x(x-3)}>-\frac32,\qquad d(x)>4-\frac32=\frac52>2

详细分析

由 $(x-1)+(2-x)=1$ ，AM–HM 不等式给出 $\frac1{x-1}+\frac1{2-x}\ge\frac{4}{(x-1)+(2-x)}=4$ ，当 $x=\tfrac32$ 时取等。当 $1<x<2$ 时，二次式 $x(x-3)$ 的取值范围为 $[-\tfrac94,-2)$ ，故 $|x(x-3)|>2$ ，从而 $\frac3{x(x-3)}>-\tfrac32$ 。合并两个界得 $1<x<2$ 时 $d(x)>4-\tfrac32=\tfrac52>2$ ，由第3、4步，这证明了在每个区间 $2n-1<x<2n$ 上 $d(x)=g(x)-f(x)>2$ ；由第2步，交换 $f,g$ 角色应用同一估计即覆盖 $2n<x<2n+1$ ，故对满足 $0<x<2018$ 的一切非整数 $x$ 都有 $|f(x)-g(x)|>2$ 。