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第4题

设 ABCABC 为等边三角形。从顶点 AA 向三角形内部引一条射线，使其到达三角形的一条边。射线到达一边时按反射定律弹回，即若以有向角 θ\theta 到达，则以有向角 180∘−θ180^\circ-\theta 离开。经过 nn 次反弹后，该射线回到 AA，且始终未落在另外两个顶点中的任何一个上。求 nn 的所有可能取值。
第 1/7 步：通过展开反射进行三角剖分
上一步下一步
A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(0,1)
详细分析

沿反弹所在的边反复反射该等边三角形，可用单位三角形铺满平面。给每个格点赋整数坐标 (a,b)(a,b)（a,b≥0a,b\ge0），其中 aa 为沿某一初始边方向的单位步数，bb 为沿另一边方向的单位步数，于是初始三角形为 A=(0,0)A=(0,0)、B=(1,0)B=(1,0)、C=(0,1)C=(0,1)。每个单位三角形都可由一系列这样的反射从 ABCABC 得到，台球射线展开为从 AA 到射线最终到达点处 AA 的像的直线段。