第5题

求所有整系数多项式

P(x)

，使得对任意实数

s

、

t

，若

P(s)

与

P(t)

都是整数，则

P(st)

也是整数。

第 1/8 步：通过平移与取号进行归一化

上一步下一步

P(0)\in\mathbb Z;\quad \deg P=0\Rightarrow P\text{ is constant};\quad \deg P=n\ge1:\ P(x)\longmapsto \pm\big(P(x)-P(0)\big),\quad P(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i,\ a_n>0

详细分析

由于 $P$ 具有整系数， $P(0)$ 自动为整数。若 $P$ 为常数，它已经是整数常数并属于最后的结果族，因此可设 $\deg P=n\ge1$ 。若 $P$ 具有上述性质，则对任意整数 $k$ ， $P(x)+k$ 以及 $-P(x)$ 也具有该性质，整数性假设不变。因此可将 $P$ 替换为 $\pm\big(P(x)-P(0)\big)$ ，使得 $P(0)=0$ 且 $P(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i$ 的首项系数 $a_n$ 为正。只需证明 $P(x)=x^n$ 。