第5题

求所有整系数多项式

P(x)

，使得对任意实数

s

、

t

，若

P(s)

与

P(t)

都是整数，则

P(st)

也是整数。

第 3/8 步：构造公共根的最大公因式

上一步下一步

P(2)\in\mathbb Z,\ P(t)=p\in\mathbb Z\ \Longrightarrow\ P(2t)\in\mathbb Z,\qquad f(x)=\gcd\big(P(x)-p,\ P(2x)-P(2t)\big)

详细分析

由于 $P$ 具有整系数， $P(2)$ 是整数；结合 $P(t)=p\in\mathbb Z$ ，对 $s=2$ 应用假设得 $P(2t)\in\mathbb Z$ 。 $P(x)-p$ 与 $P(2x)-P(2t)$ 都是在 $x=t$ 处为零的整系数多项式，故其（在 $\mathbb Q$ 上计算的）最大公因式 $f(x)$ 是一个有理系数的非常数多项式，且整除两者。