第5题

设 $f$ 为 $P(x)-p$ 的真因子，即 $P(x)-p=f(x)g(x)$，其中 $f,g$ 均非常数。由高斯引理，存在整系数多项式 $f_1,g_1$（分别为 $f,g$ 的数量倍）使得 $P(x)-p=f_1(x)g_1(x)$；因 $f_1(0)g_1(0)=P(0)-p=-p$ 且 $p$ 为素数，可取 $f_1(0)=\pm1$。若 $f_1$ 的每个根绝对值都大于 $1$，则 $|f_1(0)|$ 将等于 $f_1$ 的首项系数（绝对值 $\ge1$ 的整数）乘以各根大小之积，从而超过 $1$；这与 $|f_1(0)|=1$ 矛盾。故 $f_1$，从而 $P(x)-p$，存在根 $r$ 满足 $|r|\le1$。