第5题

求所有整系数多项式

P(x)

，使得对任意实数

s

、

t

，若

P(s)

与

P(t)

都是整数，则

P(st)

也是整数。

第 5/8 步：矛盾排除了真因子

上一步下一步

P(r)=p,\qquad |P(r)|\le\sum_{i=1}^n|a_i|\,|r|^i\le\sum_{i=1}^n|a_i|<p\quad\text{(contradiction)}

详细分析

由 $|r|\le1$ 及 $P(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i$ ，按 $p$ 的选取有 $|P(r)|\le\sum_{i=1}^n|a_i||r|^i\le\sum_{i=1}^n|a_i|<p$ 。但由第4步 $P(r)=p$ ，故 $p<p$ ，矛盾。因此 $f$ 不可能是真因子： $f$ 是 $P(x)-p$ 本身的数量倍，从而 $\big(P(x)-p\big)\mid\big(P(2x)-P(2t)\big)$ 。