第5题

求所有整系数多项式

P(x)

，使得对任意实数

s

、

t

，若

P(s)

与

P(t)

都是整数，则

P(st)

也是整数。

第 6/8 步：比较系数以消去低次项

上一步下一步

P(2x)-P(2t)=2^n\big(P(x)-p\big)\ \Longrightarrow\ a_i(2^i-2^n)=0\ (i<n)\ \Longrightarrow\ P(x)=a_nx^n

详细分析

两边关于 $x$ 均为 $n$ 次；比较首项系数（左边为 $a_n2^n$ ）可知 $P(2x)-P(2t)$ 恰等于 $2^n\big(P(x)-p\big)$ 。对每个 $i<n$ 比较 $x^i$ 的系数得 $a_i2^i=2^na_i$ ，即 $a_i(2^i-2^n)=0$ ；由于 $i<n$ 时 $2^i\ne2^n$ ，故迫使 $a_i=0$ 。因此 $P(x)=a_nx^n$ 。