第5题

求所有整系数多项式

P(x)

，使得对任意实数

s

、

t

，若

P(s)

与

P(t)

都是整数，则

P(st)

也是整数。

第 7/8 步：迫使首项系数为1

上一步下一步

a=b=a_n^{-1/n},\quad P(a)=P(b)=1\in\mathbb Z\ \Longrightarrow\ P(ab)=\frac1{a_n}\in\mathbb Z\ \Longrightarrow\ a_n=1

详细分析

由 $P(x)=a_nx^n$ 且 $a_n>0$ ，取 $a=b=a_n^{-1/n}$ ，则 $P(a)=P(b)=a_n\cdot a_n^{-1}=1\in\mathbb Z$ 。于是假设迫使 $P(ab)=P(a^2)=a_n\,a_n^{-2}=1/a_n$ 必须是整数。由于 $a_n$ 是正整数，这迫使 $a_n=1$ 。