第2题

若 $a_i\ge2^m$，减半会去掉一个因子 $2$，故 $b_{i+1}=b_i$。若 $a_i<2^m$，则 $a_{i+1}=b_i^22^{2c_i}+2^m$；提出 $2^{\min(2c_i,m)}$ 可知，当 $2c_i\ne m$ 时奇部变为 $b_i^22^{|2c_i-m|}+1$，它超过 $b_i^2\ge b_i$；当 $2c_i=m$ 时奇部变为 $(b_i^2+1)/2$（因奇数 $b_i$ 满足 $b_i^2\equiv1\pmod8$ 故为奇数），由 $(b_i-1)^2\ge0$ 知 $b_{i+1}\ge b_i$，等号恰在 $b_i=1$ 时成立。故 $b_i$ 永不减小，且除此单一边界情形外，每次使用小值规则的步骤都严格增大。