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第2题

设 mm 为固定的正整数。无穷数列 {an}n≥1\{a_n\}_{n\ge1} 定义如下：a1a_1 为正整数，且对每个整数 n≥1n\ge1，当 an<2ma_n<2^m 时 an+1=an2+2ma_{n+1}=a_n^2+2^m，当 an≥2ma_n\ge2^m 时 an+1=an/2a_{n+1}=a_n/2。对每个 mm，求 a1a_1 的所有可能取值，使得数列的每一项都是整数。
第 3/7 步：奇部最终稳定于1
上一步下一步
{bi} bounded, non-decreasing, odd ⟹ bi=1 eventually\{b_i\}\ \text{bounded, non-decreasing, odd}\ \Longrightarrow\ b_i=1\ \text{eventually}
详细分析

由第1、2步，{bi}\{b_i\} 是以 2m2^m 为上界的奇正整数不减数列，故只取有限个值，最终恒定，设 i≥Ji\ge J 时 bi=Bb_i=B。大值规则不可能永远适用（每次使用都使 cic_i 减 11，且 ci≥0c_i\ge0），故小值规则会被无限次使用；要使这些步骤中 bib_i 保持不变，由第2步每次都必须是边界情形，这要求 bi=1b_i=1。故 B=1B=1：最终每一项都是二的幂。