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第2题

设 mm 为固定的正整数。无穷数列 {an}n≥1\{a_n\}_{n\ge1} 定义如下：a1a_1 为正整数，且对每个整数 n≥1n\ge1，当 an<2ma_n<2^m 时 an+1=an2+2ma_{n+1}=a_n^2+2^m，当 an≥2ma_n\ge2^m 时 an+1=an/2a_{n+1}=a_n/2。对每个 mm，求 a1a_1 的所有可能取值，使得数列的每一项都是整数。
第 5/7 步：从一开始排除奇部3
上一步下一步
m=2:a1<4 ⇒ b1∈{1,3};b1=3 ⟹ a2=13, b2=13>4 (contradicts step 1)m=2:\quad a_1<4\ \Rightarrow\ b_1\in\{1,3\};\qquad b_1=3\ \Longrightarrow\ a_2=13,\ b_2=13>4\ (\text{contradicts step 1})
详细分析

当 m=2m=2 时，第1步要求 b1≤4b_1\le4，而 b1b_1 为奇数给出 b1∈{1,3}b_1\in\{1,3\}。由于大值规则保持奇部不变，若 b1=3b_1=3，数列在反复减半下始终保持奇部 33，直至到达项 a=3a=3 本身（因 3<43<4）；此时 an+1=32+4=13a_{n+1}=3^2+4=13，其奇部 1313 超过 2m=42^m=4，与第1步矛盾。故 b1=1b_1=1：a1a_1 本身必须是二的幂，即对某个整数 ℓ≥0\ell\ge0，a1=2ℓa_1=2^\ell。