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第3题

设 ABCABC 为不等边三角形，外接圆为 Ω\Omega。设 MM 为 BCBC 的中点。在线段 AMAM 上取一动点 PP。三角形 BPMBPM 与 CPMCPM 的外接圆分别与 Ω\Omega 再次相交于点 DD、EE。直线 DPDP 与 EPEP 分别与三角形 CPMCPM、BPMBPM 的外接圆再次相交于点 XX、YY。证明：当 PP 变化时，三角形 AXYAXY 的外接圆恒过一个不同于 AA 的定点 TT。
第 1/9 步：在直线AM上确定第一个根心
上一步下一步
N=radical center of Ω, ⊙(BPM), ⊙(CPM) ⟹ BD, CE, PM concur at N,N∈AMN=\text{radical center of }\Omega,\ \odot(BPM),\ \odot(CPM)\ \Longrightarrow\ BD,\ CE,\ PM\ \text{concur at}\ N,\quad N\in AM
详细分析

设 NN 为 Ω\Omega、⊙(BPM)\odot(BPM)、⊙(CPM)\odot(CPM) 的根心。两两根轴分别为 BDBD（Ω,⊙(BPM)\Omega,\odot(BPM) 的公共点）、CECE（Ω,⊙(CPM)\Omega,\odot(CPM) 的公共点）、PMPM（⊙(BPM),⊙(CPM)\odot(BPM),\odot(CPM) 的公共点），故这三条直线共点于 NN。由于 PP、MM 都在线段 AMAM 上，直线 PMPM 恰为直线 AMAM，故 N∈AMN\in AM。