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第3题

设 ABCABC 为不等边三角形，外接圆为 Ω\Omega。设 MM 为 BCBC 的中点。在线段 AMAM 上取一动点 PP。三角形 BPMBPM 与 CPMCPM 的外接圆分别与 Ω\Omega 再次相交于点 DD、EE。直线 DPDP 与 EPEP 分别与三角形 CPMCPM、BPMBPM 的外接圆再次相交于点 XX、YY。证明：当 PP 变化时，三角形 AXYAXY 的外接圆恒过一个不同于 AA 的定点 TT。
第 2/9 步：角度追踪得到两组平行
上一步下一步
∠MCE=∠MPE=∠MPY=∠MBY ⟹ BY∥CE;similarlyCX∥BD\angle MCE=\angle MPE=\angle MPY=\angle MBY\ \Longrightarrow\ BY\parallel CE;\qquad \text{similarly}\quad CX\parallel BD
详细分析

由 C,M,P,EC,M,P,E 共圆得 ∠MCE=∠MPE\angle MCE=\angle MPE；由 P,E,YP,E,Y 共线得 ∠MPE=∠MPY\angle MPE=\angle MPY；由 B,M,P,YB,M,P,Y 共圆得 ∠MPY=∠MBY\angle MPY=\angle MBY。直线 CECE 与 BYBY 与直线 BCBC（过 CC、BB）所成的相等有向角 ∠MCE=∠MBY\angle MCE=\angle MBY 表明 BY∥CEBY\parallel CE。利用 B,M,P,DB,M,P,D 与 D,P,XD,P,X 与 C,M,P,XC,M,P,X 的共圆/共线，同样的论证给出 CX∥BDCX\parallel BD。