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第3题

设 ABCABC 为不等边三角形,外接圆为 Ω\Omega。设 MM 为 BCBC 的中点。在线段 AMAM 上取一动点 PP。三角形 BPMBPM 与 CPMCPM 的外接圆分别与 Ω\Omega 再次相交于点 DD、EE。直线 DPDP 与 EPEP 分别与三角形 CPMCPM、BPMBPM 的外接圆再次相交于点 XX、YY。证明:当 PP 变化时,三角形 AXYAXY 的外接圆恒过一个不同于 AA 的定点 TT。
第 3/9 步:将N关于M反射回到AM上
L=BY∩CX ⟹ BNCL is a parallelogram ⟹ L=2M−N∈AML=BY\cap CX\ \Longrightarrow\ BNCL\ \text{is a parallelogram}\ \Longrightarrow\ L=2M-N\in AM
详细分析

设 L=BY∩CXL=BY\cap CX。因 CLCL 在 CX∥BDCX\parallel BD 上,故 CL∥BNCL\parallel BN;因 LBLB 在 BY∥CEBY\parallel CE 上,故 LB∥NCLB\parallel NC。于是 BNCLBNCL 两对对边都平行,是平行四边形,其对角线 BC,NLBC,NL 互相平分。由于 MM 是 BCBC 的中点,MM 也是 NLNL 的中点,故 LL 是 NN 关于 MM 的反射点。由第1步 N∈AMN\in AM,其关于点 M∈AMM\in AM 的反射点 LL 也在直线 AMAM 上。