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第3题

设 ABCABC 为不等边三角形，外接圆为 Ω\Omega。设 MM 为 BCBC 的中点。在线段 AMAM 上取一动点 PP。三角形 BPMBPM 与 CPMCPM 的外接圆分别与 Ω\Omega 再次相交于点 DD、EE。直线 DPDP 与 EPEP 分别与三角形 CPMCPM、BPMBPM 的外接圆再次相交于点 XX、YY。证明：当 PP 变化时，三角形 AXYAXY 的外接圆恒过一个不同于 AA 的定点 TT。
第 4/9 步：L的幂给出新的圆内接四边形
上一步下一步
LY⋅LB=LP⋅LM=LX⋅LC ⟹ B,Y,X,C concyclicLY\cdot LB=LP\cdot LM=LX\cdot LC\ \Longrightarrow\ B,Y,X,C\ \text{concyclic}
详细分析

由于 LL 位于同样过 PP、MM 的直线 AMAM 上，沿过 B,YB,Y（及 LL）的直线及过 P,MP,M 的直线计算 LL 关于 ⊙(BPM)\odot(BPM) 的幂，得 LY⋅LB=LP⋅LMLY\cdot LB=LP\cdot LM；沿过 C,XC,X 的直线计算 LL 关于 ⊙(CPM)\odot(CPM) 的幂同样给出 LX⋅LC=LP⋅LMLX\cdot LC=LP\cdot LM。故 LY⋅LB=LX⋅LCLY\cdot LB=LX\cdot LC，由幂的逆定理，B,Y,X,CB,Y,X,C 共圆。