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第3题

设 ABCABC 为不等边三角形，外接圆为 Ω\Omega。设 MM 为 BCBC 的中点。在线段 AMAM 上取一动点 PP。三角形 BPMBPM 与 CPMCPM 的外接圆分别与 Ω\Omega 再次相交于点 DD、EE。直线 DPDP 与 EPEP 分别与三角形 CPMCPM、BPMBPM 的外接圆再次相交于点 XX、YY。证明：当 PP 变化时，三角形 AXYAXY 的外接圆恒过一个不同于 AA 的定点 TT。
第 5/9 步：弦XY平行于DE
上一步下一步
∠LXY=∠LBC=∠BCN=∠NDE ⟹ XY∥DE\angle LXY=\angle LBC=\angle BCN=\angle NDE\ \Longrightarrow\ XY\parallel DE
详细分析

由于 B,Y,X,CB,Y,X,C 共圆（第4步）且 L,B,YL,B,Y 共线，有 ∠LXY=∠LBC\angle LXY=\angle LBC。又 LB∥CELB\parallel CE（第2步），而根心构造给出 C,N,EC,N,E 共线，故 ∠LBC=∠BCN\angle LBC=\angle BCN。最后 B,C,D,EB,C,D,E 均在 Ω\Omega 上且 B,N,DB,N,D 共线，因此 ∠BCN=∠BCE=∠BDE=∠NDE\angle BCN=\angle BCE=\angle BDE=\angle NDE。于是 ∠LXY=∠NDE\angle LXY=\angle NDE，由有向角得 XY∥DEXY\parallel DE。