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第3题

设 ABCABC 为不等边三角形，外接圆为 Ω\Omega。设 MM 为 BCBC 的中点。在线段 AMAM 上取一动点 PP。三角形 BPMBPM 与 CPMCPM 的外接圆分别与 Ω\Omega 再次相交于点 DD、EE。直线 DPDP 与 EPEP 分别与三角形 CPMCPM、BPMBPM 的外接圆再次相交于点 XX、YY。证明：当 PP 变化时，三角形 AXYAXY 的外接圆恒过一个不同于 AA 的定点 TT。
第 6/9 步：定点Q、R将P带到两条弦上
上一步下一步
CQ∥BR∥AM (Q,R∈Ω);∠QDB=∠QCB=∠AMB=∠PDB ⟹ D,P,Q collinear (similarly E,P,R)CQ\parallel BR\parallel AM\ (Q,R\in\Omega);\quad \angle QDB=\angle QCB=\angle AMB=\angle PDB\ \Longrightarrow\ D,P,Q\ \text{collinear (similarly }E,P,R)
详细分析

设 QQ 为 Ω\Omega 与过 CC 且平行于 AMAM 的直线的第二个交点，RR 为 Ω\Omega 与过 BB 且平行于 AMAM 的直线的第二个交点；二者都是定点，因为只依赖于固定的方向 AMAM 与固定的三角形。由 Q,D,B,C∈ΩQ,D,B,C\in\Omega 得 ∠QDB=∠QCB\angle QDB=\angle QCB；由 CQ∥AMCQ\parallel AM 得 ∠QCB=∠AMB\angle QCB=\angle AMB（截线 CBCB）；由 P∈AMP\in AM 得 ∠AMB=∠PMB\angle AMB=\angle PMB；由 B,P,M,DB,P,M,D 共圆得 ∠PMB=∠PDB\angle PMB=\angle PDB。串联这些等式得 ∠QDB=∠PDB\angle QDB=\angle PDB，故射线 DQDQ 与 DPDP 重合，即 D,P,QD,P,Q 共线。关于 RR 的对称论证给出 E,P,RE,P,R 共线。