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第3题

设 ABCABC 为不等边三角形，外接圆为 Ω\Omega。设 MM 为 BCBC 的中点。在线段 AMAM 上取一动点 PP。三角形 BPMBPM 与 CPMCPM 的外接圆分别与 Ω\Omega 再次相交于点 DD、EE。直线 DPDP 与 EPEP 分别与三角形 CPMCPM、BPMBPM 的外接圆再次相交于点 XX、YY。证明：当 PP 变化时，三角形 AXYAXY 的外接圆恒过一个不同于 AA 的定点 TT。
第 7/9 步：QRXY共圆
上一步下一步
∠PRQ=∠PDE=∠PXY ⟹ Q,R,Y,X concyclic\angle PRQ=\angle PDE=\angle PXY\ \Longrightarrow\ Q,R,Y,X\ \text{concyclic}
详细分析

由第6步，D,P,QD,P,Q 与 E,P,RE,P,R 共线，故按有向角有 ∠PRQ=∠PDE\angle PRQ=\angle PDE。由第5步 XY∥DEXY\parallel DE，从而 ∠PDE=∠PXY\angle PDE=\angle PXY。于是 ∠PRQ=∠PXY\angle PRQ=\angle PXY，即从 RR 与 XX 看弦 QYQY 的角相等，故 Q,R,Y,XQ,R,Y,X 共圆。