MathLabs

第3题

设 ABCABC 为不等边三角形，外接圆为 Ω\Omega。设 MM 为 BCBC 的中点。在线段 AMAM 上取一动点 PP。三角形 BPMBPM 与 CPMCPM 的外接圆分别与 Ω\Omega 再次相交于点 DD、EE。直线 DPDP 与 EPEP 分别与三角形 CPMCPM、BPMBPM 的外接圆再次相交于点 XX、YY。证明：当 PP 变化时，三角形 AXYAXY 的外接圆恒过一个不同于 AA 的定点 TT。
第 8/9 步：第二个根心是固定的
上一步下一步
S=radical center of Ω, ⊙(BCXY), ⊙(QRXY) ⟹ S=BC∩QR∩XY, fixedS=\text{radical center of }\Omega,\ \odot(BCXY),\ \odot(QRXY)\ \Longrightarrow\ S=BC\cap QR\cap XY,\ \text{fixed}
详细分析

设 SS 为 Ω\Omega、⊙(BCXY)\odot(BCXY)（第4步）、⊙(QRXY)\odot(QRXY)（第7步）的根心。两两根轴分别为 BCBC（Ω,⊙(BCXY)\Omega,\odot(BCXY) 的公共点）、QRQR（因 Q,R∈ΩQ,R\in\Omega，为 Ω,⊙(QRXY)\Omega,\odot(QRXY) 的公共点）、XYXY（⊙(BCXY),⊙(QRXY)\odot(BCXY),\odot(QRXY) 的公共点），故 S=BC∩QR∩XYS=BC\cap QR\cap XY。由于 Q,RQ,R 是定点（第6步）且 B,CB,C 是固定顶点，点 S=BC∩QRS=BC\cap QR 不依赖于 PP。