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第3题

设 ABCABC 为不等边三角形，外接圆为 Ω\Omega。设 MM 为 BCBC 的中点。在线段 AMAM 上取一动点 PP。三角形 BPMBPM 与 CPMCPM 的外接圆分别与 Ω\Omega 再次相交于点 DD、EE。直线 DPDP 与 EPEP 分别与三角形 CPMCPM、BPMBPM 的外接圆再次相交于点 XX、YY。证明：当 PP 变化时，三角形 AXYAXY 的外接圆恒过一个不同于 AA 的定点 TT。
第 9/9 步：定点T位于圆AXY上
上一步下一步
T=AS∩Ω (T≠A), fixed;SX⋅SY=SB⋅SC=ST⋅SA ⟹ A,X,Y,T concyclicT=AS\cap\Omega\ (T\ne A),\ \text{fixed};\qquad SX\cdot SY=SB\cdot SC=ST\cdot SA\ \Longrightarrow\ A,X,Y,T\ \text{concyclic}
详细分析

设 TT 为直线 ASAS 与 Ω\Omega 的第二个交点；由于 SS 是定点（第8步）且 A,ΩA,\Omega 固定，TT 也是定点。SS 关于 Ω\Omega 的幂给出 ST⋅SA=SB⋅SCST\cdot SA=SB\cdot SC；SS 关于 ⊙(BCXY)\odot(BCXY) 的幂给出 SB⋅SC=SX⋅SYSB\cdot SC=SX\cdot SY。故 SX⋅SY=ST⋅SASX\cdot SY=ST\cdot SA，由幂的逆定理，A,T,X,YA,T,X,Y 共圆。因此三角形 AXYAXY 的外接圆总经过定点 T≠AT\ne A。