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第4题

考虑一个 2018×20192018\times2019 的棋盘，每个单位方格中写有一个整数。若两个单位方格有公共边，则称它们为邻居。每一轮中，选出若干单位方格；然后对每个被选中的方格，计算其所有邻居的平均值，最后，在所有这些计算完成后，将每个被选中方格中的数替换为相应的平均值。经过有限多轮后，是否总能使所有方格中的数都相等？
第 1/6 步：在使每个度数可逆的素数模下工作
上一步下一步
2−1≡3,3−1≡2,4−1≡4(mod5)2^{-1}\equiv3,\quad 3^{-1}\equiv2,\quad 4^{-1}\equiv4\pmod5
详细分析

每个方格有 22、33 或 44 个邻居，而 2,3,42,3,4 在素数 55 的模下都可逆。因此平均化操作完全可以在模 55 下通过乘以相应逆元来进行，若某轮次序列使整数棋盘均等化，将同一序列作用于模 55 的剩余上也会使棋盘模 55 均等化。