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第4题

考虑一个 2018×20192018\times2019 的棋盘,每个单位方格中写有一个整数。若两个单位方格有公共边,则称它们为邻居。每一轮中,选出若干单位方格;然后对每个被选中的方格,计算其所有邻居的平均值,最后,在所有这些计算完成后,将每个被选中方格中的数替换为相应的平均值。经过有限多轮后,是否总能使所有方格中的数都相等?
第 2/6 步:一个显式不变的2×3区块
[010434](mod5)\begin{bmatrix}0&1&0\\4&3&4\end{bmatrix}\pmod5
详细分析

将 2×32\times3 区块的格子记为 a,b,ca,b,c(上行)与 d,e,fd,e,f(下行)。取值 a=0,b=1,c=0,d=4,e=3,f=4a=0,b=1,c=0,d=4,e=3,f=4 对每个格子都满足:该格的值等于其在区块内邻居的模 55 平均值:2a≡b+d2a\equiv b+d,3b≡a+c+e3b\equiv a+c+e,2c≡b+f2c\equiv b+f,2d≡a+e2d\equiv a+e,3e≡d+f+b3e\equiv d+f+b,2f≡c+e(mod5)2f\equiv c+e\pmod5,直接验证即可确认(0≡1+40\equiv1+4,3≡0+0+33\equiv0+0+3 等,均模 55)。由于该区块已处于平衡状态且 b≠ab\ne a,选取其任意子集的格子进行更新都不会改变任何值。