第4题

将平衡棋盘沿其一条边反射，使该方向的尺寸加倍；反射得到的副本重复相同的值，故接缝处的两列（或两行）相等。已有 $4$ 个邻居的格子反射后邻居不变，其平衡不受影响。有 $2$ 个邻居 $b,c$ 的边界格（故 $a\equiv3(b+c)$，即 $b+c\equiv2a$）若新增一个与自身相等的邻居，则满足所示恒等式 $2(a+b+c)=2(a+2a)=6a\equiv a$；若新增两个这样的邻居（沿两个方向反射的角格），则满足所示恒等式 $4(2a+b+c)=4(2a+2a)=16a\equiv a$。有 $3$ 个邻居 $b,c,d$ 的格子（故 $a\equiv2(b+c+d)$，即 $b+c+d\equiv3a$）若新增一个与自身相等的邻居，满足 $4(a+b+c+d)=4(a+3a)=16a\equiv a$。无论哪种情形，反射后的棋盘都再次处于模 $5$ 的平衡状态。