第4题

考虑一个

2018\times2019

的棋盘，每个单位方格中写有一个整数。若两个单位方格有公共边，则称它们为邻居。每一轮中，选出若干单位方格；然后对每个被选中的方格，计算其所有邻居的平均值，最后，在所有这些计算完成后，将每个被选中方格中的数替换为相应的平均值。经过有限多轮后，是否总能使所有方格中的数都相等？

第 4/6 步：通过反复反射铺满整个棋盘

上一步下一步

2018=2\cdot1009,\quad 2019=3\cdot673\ \Longrightarrow\ \exists\ 2018\times2019\ \text{board in equilibrium mod 5, not all equal}

详细分析

从第2步的 $2\times3$ 平衡区块出发，反复反射（第3步）在保持平衡的同时使尺寸加倍。由于 $2018=2\cdot1009$ 且 $2019=3\cdot673$ ，足够多次的反射可构造出完整的 $2018\times2019$ 棋盘，其每个格子的值都是从原区块复制而来的 $\{0,1,3,4\}$ 之一，并且每个格子仍满足平衡条件；由于区块本身含有不相等的项（ $0\ne1$ ），所得到的大棋盘并非全部相等。