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第4题

考虑一个 2018×20192018\times2019 的棋盘，每个单位方格中写有一个整数。若两个单位方格有公共边，则称它们为邻居。每一轮中，选出若干单位方格；然后对每个被选中的方格，计算其所有邻居的平均值，最后，在所有这些计算完成后，将每个被选中方格中的数替换为相应的平均值。经过有限多轮后，是否总能使所有方格中的数都相等？
第 5/6 步：平衡棋盘是每一轮操作的不动点
上一步下一步
every cell already equals its neighbours’ average ⟹ any turn leaves the board unchanged\text{every cell already equals its neighbours' average} \ \Longrightarrow\ \text{any turn leaves the board unchanged}
详细分析

在一轮中，每个被选中的格子会被替换为其邻居当前值的模 55 平均值；但根据构造，铺满棋盘的每个格子本就等于该平均值。因此无论选中哪个格子子集，每个被选中的格子都会被替换为自身当前的值，而未被选中的格子按定义保持不变。故模 55 下的棋盘在任何单次轮次后都不变，从而在任何有限轮次序列后也不变。