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第4题

考虑一个 2018×20192018\times2019 的棋盘，每个单位方格中写有一个整数。若两个单位方格有公共边，则称它们为邻居。每一轮中，选出若干单位方格；然后对每个被选中的方格，计算其所有邻居的平均值，最后，在所有这些计算完成后，将每个被选中方格中的数替换为相应的平均值。经过有限多轮后，是否总能使所有方格中的数都相等？
第 6/6 步：得出答案为否
上一步下一步
board mod 5 is never all-equal ⟹ the integer board can never be made all-equal; answer: No\text{board mod 5 is never all-equal} \ \Longrightarrow \ \text{the integer board can never be made all-equal; answer: No}
详细分析

取铺满棋盘的各项（{0,1,3,4}\{0,1,3,4\} 中的值）作为一个真实的整数初始棋盘。由第5步，任何有限轮次序列都不会改变该棋盘模 55 的值，又因其模 55 并非全部相等（第4步），故它永远不能变为模 55 下全部相等的棋盘。由第1步，若能在整数上使其全部相等，则同样的轮次也会使其模 55 全部相等——矛盾。因此并非总能使所有方格中的数相等，故该问题的答案为否。