第5题

求所有函数

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

，使得对任意实数

x

、

y

，都有

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

。

第 1/9 步：基本取值与一个对称恒等式

上一步下一步

f(0)=0;\qquad f(x^2)=f(f(x));\qquad f(x^2+f(y))=f(x^2)+f(y^2)+2f(xy)=f(y^2+f(x))

详细分析

令 $x=y=0$ 得 $f(f(0))=f(f(0))+3f(0)$ ，故 $f(0)=0$ 。再令 $y=0$ ，对所有 $x$ 得 $f(x^2)=f(f(x))$ 。利用此式，原方程右边等于 $f(x^2)+f(y^2)+2f(xy)$ ，它关于 $x,y$ 对称，故对所有 $x,y$ 有 $f(x^2+f(y))=f(y^2+f(x))$ ；将此恒等式记为 $(*)$ 。