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第5题

求所有函数 f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}，使得对任意实数 xx、yy，都有 f(x2+f(y))=f(f(x))+f(y2)+2f(xy)f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)。
第 2/9 步：f为偶函数
上一步下一步
2f(x)=f(x2+f(1))−f(x2)−f(1) ⟹ f(−x)=f(x)2f(x)=f(x^2+f(1))-f(x^2)-f(1)\ \Longrightarrow\ f(-x)=f(x)
详细分析

在原方程中令 y=1y=1 并利用 f(f(x))=f(x2)f(f(x))=f(x^2)，得 f(x2+f(1))=f(x2)+f(1)+2f(x)f(x^2+f(1))=f(x^2)+f(1)+2f(x)，即 2f(x)=f(x2+f(1))−f(x2)−f(1)2f(x)=f(x^2+f(1))-f(x^2)-f(1)。右边仅通过 x2x^2 依赖于 xx，将 xx 换为 −x-x 时不变；故对所有 xx 有 f(x)=f(−x)f(x)=f(-x)。